非可逆写像の不変集合
定義(不変集合)
を写像とする.
- が正の不変集合 (positive invariant set)
- が負の不変集合 (negative invariant set)
が可逆ならば,
\begin{align*} f^{-1}(S) \subset S \quad \Leftrightarrow \quad S \subset f(S) \end{align*}
である.しかし,が可逆でない場合,
\begin{align*} f^{-1}(S) \subset S \quad \Rightarrow \quad S \subset f(S) \end{align*}
ではあるが,逆は必ずしも成り立たない.これは,は常に成立するが,は成立しない場合があるため.
以上から次のことが言える.が可逆の場合,負の不変集合に対して,
\begin{align*} \cdots \subset f^{-2}(S) \subset f^{-1}(S) \subset S \subset f(S) \subset f^2(S) \subset \cdots \end{align*}
である.一方,が可逆でない場合は,
\begin{align*} \cdots \subset f^{-2}(S) \subset f^{-1}(S) \subset S \end{align*}
である.