非可逆写像の不変集合

力学系（写像）の不変集合についてのメモ．

定義（不変集合）

を写像とする．

• が正の不変集合 (positive invariant set)

• が負の不変集合 (negative invariant set)

が可逆ならば，

\begin{align*} f^{-1}(S) \subset S \quad \Leftrightarrow \quad S \subset f(S) \end{align*}

である．しかし，が可逆でない場合，

\begin{align*} f^{-1}(S) \subset S \quad \Rightarrow \quad S \subset f(S) \end{align*}

ではあるが，逆は必ずしも成り立たない．これは，は常に成立するが，は成立しない場合があるため．

以上から次のことが言える．が可逆の場合，負の不変集合に対して，

\begin{align*} \cdots \subset f^{-2}(S) \subset f^{-1}(S) \subset S \subset f(S) \subset f^2(S) \subset \cdots \end{align*}

である．一方，が可逆でない場合は，

\begin{align*} \cdots \subset f^{-2}(S) \subset f^{-1}(S) \subset S \end{align*}

である．